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基础物理复习上
基础物理学 B(1) — 期末复习完整资料
课程：北京航空航天大学 · 基础物理学 B(1)
学期：2025 春季
考试性质：闭卷
题型：选择题（10×3=30分）+ 填空题（10×3=30分）+ 计算题（4×10=40分）
满分：100 分
📋 课程体系总览
基础物理学 B(1)
├── 力学
│ ├── 第1章 质点运动学
│ ├── 第2章 质点动力学
│ └── 第3章 刚体力学基础
├── 热学
│ ├── 第4章 热力学基础
│ └── 第5章 气体动理论
├── 电磁学
│ ├── 第6章 静电场
│ ├── 第7章 静电场中的导体和电介质
│ ├── 第8章 稳恒磁场
│ └── 第9章 电磁感应
├── 振动与波动
│ ├── 第10章 振动学基础
│ └── 第11章 波动学基础
├── 光学
│ └── 第12章 波动光学
└── 近代物理
└── 狭义相对论基础
第一部分：力学
第1章 质点运动学
1.1 基本概念
参照系与坐标系
- 参照系：运动是相对的，描述运动需选定参照系
- 坐标系：定量描述位置变化的数学工具
- 直角坐标系：最常用
- 自然坐标系：已知轨迹时使用
- 极坐标系：平面圆周运动
- 质点：忽略形状大小、视为质量集中于一点的对象
位置矢量与位移
| 概念 | 定义 | 说明 |
|---|---|---|
| 位置矢量（位矢） | \vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} | 从原点指向质点所在位置 |
| 位移 | \Delta\vec{r} = \vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t) | 矢量，只与始末位置有关 |
| 路程 | \Delta s | 标量，实际轨迹长度 |
⚠️ 重要区别：|\Delta\vec{r}| \neq \Delta s（一般情况），|\Delta\vec{r}| \neq \Delta r（位矢大小增量 ≠ 位移大小）
速度与速率
| 物理量 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 平均速度 | \bar{\vec{v}} = \dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} | 矢量 |
| 瞬时速度 | \vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} | 矢量 |
| 平均速率 | \bar{v} = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} | 标量 |
| 瞬时速率 | v = \dfrac{ds}{dt} | 标量，$ |
⚠️ 平均速度大小 ≠ 平均速率：|\bar{\vec{v}}| \neq \bar{v}
加速度
\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}
- 加速度方向总指向轨迹凹侧
- 直角分量：a_x = \dfrac{dv_x}{dt}，a_y = \dfrac{dv_y}{dt}
1.2 直角坐标系中的运动描述
运动方程分量式：
\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}
消去 t 得轨道方程：f(x, y) = 0
速度分量：v_x = \dfrac{dx}{dt}，v_y = \dfrac{dy}{dt}
加速度分量：a_x = \dfrac{d^2x}{dt^2}，a_y = \dfrac{d^2y}{dt^2}
1.3 圆周运动 ⭐⭐
角量描述
| 角量 | 定义 | 单位 |
|---|---|---|
| 角位置 | \theta = \theta(t) | rad |
| 角速度 | \omega = \dfrac{d\theta}{dt} | rad/s |
| 角加速度 | \beta = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} | rad/s² |
角量与线量关系 ⭐⭐
\boxed{v = R\omega}
\boxed{a_\tau = R\beta}
\boxed{a_n = R\omega^2 = \frac{v^2}{R}}
- a_\tau：切向加速度（改变速度大小）
- a_n：法向加速度（改变速度方向，总指向圆心）
- 总加速度：a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}
自然坐标系下的牛顿方程
F_\tau = ma_\tau = m\frac{dv}{dt}, \quad F_n = ma_n = m\frac{v^2}{\rho}
1.4 相对运动
伽利略变换（经典力学）：
\Delta\vec{r} = \Delta\vec{r}\,' + \Delta\vec{r}_0
\vec{v} = \vec{v}\,' + \vec{v}_0
\vec{a} = \vec{a}\,' + \vec{a}_0
经典力学认为时间和空间是绝对的，与参照系无关
1.5 运动学两类问题
| 类型 | 已知 | 求 | 方法 |
|---|---|---|---|
| 第一类 | 运动方程 \vec{r}(t) | v(t)、a(t) | 微分法：v = dr/dt，a = dv/dt |
| 第二类 | 加速度 a(t) + 初始条件 | v(t)、\vec{r}(t) | 积分法：v = v_0 + \int a\,dt，\vec{r} = \vec{r}_0 + \int v\,dt |
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 ⭐⭐⭐
| 定律 | 内容 | 公式 | 要点 |
|---|---|---|---|
| 第一定律 | 惯性定律 | \sum\vec{F}=0 \Rightarrow \vec{v}=C | 定义了力与惯性、惯性系 |
| 第二定律 | 运动定律 | \vec{F} = m\vec{a} | 瞬时关系、矢量性、适用于惯性系 |
| 第三定律 | 作用力与反作用力 | \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21} | 成对、同时、等大反向、同性质 |
牛顿第二定律的分量形式
直角坐标：
\sum F_x = ma_x, \quad \sum F_y = ma_y
自然坐标（已知轨迹）：
\sum F_\tau = m\frac{dv}{dt}, \quad \sum F_n = m\frac{v^2}{\rho}
2.2 常见力 ⭐
| 力类型 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 万有引力 | F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2} | G = 6.67 \times 10^{-11} |
| 重力 | W = mg | g \approx 9.8 m/s² |
| 弹簧弹力 | F = -kx | 虎克定律 |
| 静摩擦力 | f_s \leq \mu_s N | 变力，需按平衡/运动判定 |
| 滑动摩擦力 | f_k = \mu_k N | 方向与相对运动方向相反 |
| 流体阻力 | 低速 f = kv，高速 f = k'v^2 |
万有引力重要推论
- 球对称体外质点 → 质量视为集中于球心
- 匀质球体内距球心 r 处 → 引力仅来自 r 以内的质量
- 匀质球壳内任意位置 → 合力为零
2.3 解题标准步骤
- 选对象：隔离物体，明确研究对象
- 看运动：确定运动状态（匀速/变速、直线/曲线）
- 查受力：全面画出受力图，不漏力不添力
- 建坐标：根据运动特征选坐标系（直角/自然/极坐标）
- 列方程：分量形式 + 运动学关系 + 辅助条件
- 求解讨论：先文字推导，后代入数值，检验合理性
2.4 动量定理与动量守恒 ⭐⭐
冲量与动量
\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\,dt
\vec{p} = m\vec{v}
动量定理
\vec{I} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1
质点系：\vec{I}_{\text{外}} = \vec{p} - \vec{p}_0，其中 \vec{p} = \sum m_i\vec{v}_i = M\vec{v}_C
内力不改变系统总动量，仅交换内部动量
动量守恒定律
\sum\vec{F}_{\text{外}} = 0 \;\Rightarrow\; \sum m_i\vec{v}_i = \text{常数}
- 若某一方向上合外力为零，则该方向动量守恒
- 适用条件：合外力为零
2.5 功与动能定理
功的定义
A = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}
动能与动能定理
E_k = \frac{1}{2}mv^2
A = E_k - E_{k0}
质点系：A_{\text{外}} + A_{\text{内}} = E_k - E_{k0}
2.6 保守力与势能 ⭐
保守力
做功仅与始末位置有关、与路径无关的力。如：重力、弹簧弹力、万有引力。
势能定义
E_p = -\int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{F}_{\text{保}} \cdot d\vec{r}
| 力类型 | 势能表达式 |
|---|---|
| 重力 | E_p = mgh（h 为从参考零点算起的高度） |
| 弹簧弹性力 | E_p = \dfrac{1}{2}kx^2 |
| 万有引力 | E_p = -G\dfrac{Mm}{r}（无穷远为零点） |
功能原理
A_{\text{外}} + A_{\text{非保内}} = E - E_0
其中 E = E_k + E_p 为机械能。
机械能守恒定律 ⭐⭐
A_{\text{外}} = 0 \;\text{且}\; A_{\text{非保内}} = 0 \;\Rightarrow\; E = E_0 = \text{常数}
封闭保守系统中机械能守恒
2.7 质心运动
质心位置
离散：\vec{r}_C = \dfrac{\sum m_i \vec{r}_i}{M}
连续：\vec{r}_C = \dfrac{\int \vec{r}\,dm}{M}
质心运动定理
\vec{F}_{\text{合外}} = M\vec{a}_C
质点系质心的运动等同于所有质量集中在质心、所有外力作用在质心上的单个质点的运动
2.8 碰撞问题
| 类型 | 动量 | 动能 |
|---|---|---|
| 完全弹性碰撞 | 守恒 | 守恒 |
| 完全非弹性碰撞 | 守恒 | 不守恒（碰后粘在一起） |
| 非完全弹性碰撞 | 守恒 | 不守恒 |
第3章 刚体力学基础
3.1 转动惯量 ⭐⭐
定义
J = \sum \Delta m_i r_i^2 \quad \text{或} \quad J = \int r^2 dm
常见刚体的转动惯量
| 刚体 | 转轴 | 转动惯量 |
|---|---|---|
| 细杆（长 L） | 过中点垂直 | J = \dfrac{1}{12}mL^2 |
| 细杆（长 L） | 过一端垂直 | J = \dfrac{1}{3}mL^2 |
| 匀质圆环（半径 R） | 过中心垂直环面 | J = mR^2 |
| 匀质圆盘（半径 R） | 过中心垂直盘面 | J = \dfrac{1}{2}mR^2 |
| 匀质球体（半径 R） | 过球心 | J = \dfrac{2}{5}mR^2 |
| 匀质球壳（半径 R） | 过球心 | J = \dfrac{2}{3}mR^2 |
| 正方形薄板（边长 L） | 过中心垂直板面 | J = \dfrac{1}{6}mL^2 |
| 正方形薄板（边长 L） | 过一边 | J = \dfrac{1}{3}mL^2 |
平行轴定理
J = J_C + md^2
- J_C：过质心轴的转动惯量
- d：两平行轴之间的距离
3.2 转动定律 ⭐⭐⭐
力矩
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}, \quad M = Fr\sin\varphi
转动定律（类比牛顿第二定律）
\boxed{M = J\beta}
M_{\text{合外力矩}} = J\frac{d\omega}{dt}
角量与线量
v = r\omega, \quad a_\tau = r\beta, \quad a_n = r\omega^2
3.3 刚体转动的功与能 ⭐
转动动能
E_k = \frac{1}{2}J\omega^2
力矩的功
A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M\,d\theta
动能定理
A = \frac{1}{2}J\omega^2 - \frac{1}{2}J\omega_0^2
含刚体系统的机械能守恒
E = \frac{1}{2}mv^2 + mgh + \frac{1}{2}J\omega^2 = \text{常数}
3.4 角动量定理与角动量守恒 ⭐⭐⭐
角动量
质点对定点：\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}
刚体绕定轴：\boxed{L = J\omega}
含刚体和质点的系统：L = \sum m_i v_i d_i + \sum J_i \omega_i
角动量定理
\int_{t_1}^{t_2} M\,dt = L_2 - L_1
角动量守恒定律 ⭐
\boxed{M_{\text{合外}} = 0 \;\Rightarrow\; L = \text{常数}}
最常见应用：转动惯量变化引起角速度变化。人从转台中心走到边缘 → J 增大 → \omega 减小
3.5 刚体-质点混合系统解题要点
- 分别隔离：质点列牛顿第二定律 \vec{F} = m\vec{a}，刚体列转动定律 M = J\beta
- 无滑动条件：a = R\beta
- 绳子约束：a_1 = R_1\beta，a_2 = R_2\beta
- 角动量守恒：适用于定轴转动系统合外力矩为零时
第二部分：热学
第4章 热力学基础
4.1 基本概念
平衡态
系统宏观性质不随时间变化的状态，有确定的状态参量 (p, V, T) 和内能 E。
理想气体状态方程 ⭐
\boxed{pV = \nu RT}
- \nu：物质的量（mol）
- R = 8.31 J/(mol·K)：气体常量
4.2 热力学第一定律 ⭐⭐⭐
\boxed{Q = \Delta E + W}
- Q：系统吸收的热量（吸热为正）
- \Delta E：内能变化（增加为正）
- W：系统对外做的功（W = \int p\,dV）
\Delta E 仅与始末状态有关（状态函数），Q 和 W 与过程有关（过程量）
4.3 理想气体的摩尔热容 ⭐
| 热容 | 公式 | 关系 |
|---|---|---|
| 定容摩尔热容 | C_V = \dfrac{i}{2}R | |
| 定压摩尔热容 | C_p = C_V + R = \dfrac{i+2}{2}R | C_p > C_V |
| 比热容比 | \gamma = \dfrac{C_p}{C_V} = \dfrac{i+2}{i} |
- 单原子分子：i = 3，C_V = \dfrac{3}{2}R，\gamma = \dfrac{5}{3}
- 刚性双原子分子：i = 5，C_V = \dfrac{5}{2}R，\gamma = \dfrac{7}{5}
- 刚性多原子分子：i = 6，C_V = 3R，\gamma = \dfrac{4}{3}
4.4 理想气体典型过程 ⭐⭐⭐
| 过程 | 特征 | 功 W | 热量 Q | 内能变化 \Delta E |
|---|---|---|---|---|
| 等容 | V = C | 0 | \nu C_V(T_2 - T_1) | \nu C_V(T_2 - T_1) |
| 等压 | p = C | p(V_2 - V_1) = \nu R(T_2 - T_1) | \nu C_p(T_2 - T_1) | \nu C_V(T_2 - T_1) |
| 等温 | T = C | \nu RT\ln\dfrac{V_2}{V_1} = \nu RT\ln\dfrac{p_1}{p_2} | W | 0 |
| 绝热 | Q = 0 | -\nu C_V(T_2 - T_1) = \dfrac{p_1V_1 - p_2V_2}{\gamma - 1} | 0 | \nu C_V(T_2 - T_1) |
绝热过程方程
pV^\gamma = C_1, \quad TV^{\gamma-1} = C_2, \quad p^{\gamma-1}T^{-\gamma} = C_3
绝热线比等温线更陡
4.5 循环过程 ⭐⭐
热机循环（顺时针）
热机效率：
\boxed{\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}}
卡诺热机效率：
\boxed{\eta_\text{卡诺} = 1 - \frac{T_2}{T_1}}
- T_1：高温热源温度
- T_2：低温热源温度
- 卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成
制冷循环（逆时针）
制冷系数：
\boxed{\varepsilon = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}}
卡诺制冷系数：
\boxed{\varepsilon_\text{卡诺} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}}
4.6 热力学第二定律 ⭐
两种表述
| 表述 | 内容 |
|---|---|
| 开尔文表述 | 不可能从单一热源吸热完全变成功而不产生其他影响 |
| 克劳修斯表述 | 热量不可能从低温物体传到高温物体而不引起其他变化 |
两种表述等价，本质：与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的
熵
S = k\ln\Omega
孤立系统中自然过程熵增加：\Delta S > 0
第5章 气体动理论
5.1 统计规律与分子热运动
- 单个分子运动杂乱无章
- 大量分子的集体表现满足统计规律
- 平衡态下分子各微观量的平均值为定值
5.2 麦克斯韦速率分布律 ⭐
速率在 v \sim v + dv 之间的分子数占比：
\frac{dN}{N} = 4\pi\left(\frac{\mu}{2\pi kT}\right)^{3/2} e^{-\frac{\mu v^2}{2kT}} v^2 dv = f(v)dv
三种特征速率 ⭐⭐
| 速率 | 公式 | 特点 |
|---|---|---|
| 最概然速率 | v_p = \sqrt{\dfrac{2kT}{\mu}} = \sqrt{\dfrac{2RT}{M}} | 分布函数最大值 |
| 平均速率 | \bar{v} = \sqrt{\dfrac{8kT}{\pi\mu}} = \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}} | 算数平均 |
| 方均根速率 | \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{\mu}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}} | 与能量相关 |
大小关系：v_p < \bar{v} < \sqrt{\overline{v^2}}
5.3 压强与温度的微观意义
压强公式
\boxed{p = \frac{1}{3}n\mu\overline{v^2} = \frac{2}{3}n\bar{\varepsilon}_{kt}}
- n：分子数密度
- \mu：单个分子质量
- \bar{\varepsilon}_{kt} = \dfrac{1}{2}\mu\overline{v^2}：分子平均平动动能
温度公式
\boxed{\bar{\varepsilon}_{kt} = \frac{3}{2}kT}
温度是大量气体分子平均平动动能的量度
5.4 能量均分定理
在平衡状态下，分子每个自由度平均分配 \dfrac{1}{2}kT 的能量。
| 分子类型 | 自由度 i | 平均总动能 |
|---|---|---|
| 单原子 | 3（平动） | \dfrac{3}{2}kT |
| 刚性双原子 | 5（3平动+2转动） | \dfrac{5}{2}kT |
| 刚性多原子 | 6（3平动+3转动） | 3kT |
理想气体内能：
E = \nu \cdot \frac{i}{2}RT
第三部分：电磁学
第6章 静电场
6.1 电场强度 ⭐
定义
\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}
点电荷电场
\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}
电场叠加原理
\vec{E} = \sum \vec{E}_i = \int d\vec{E}
计算时先分解为分量再积分：E_x = \int dE_x，E_y = \int dE_y
常见带电体的电场 ⭐
| 带电体 | 电场公式 |
|---|---|
| 均匀带电圆环轴线 | E = \dfrac{qx}{4\pi\varepsilon_0(x^2 + R^2)^{3/2}}，环心 E = 0 |
| 无限大均匀带电平面 | E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} |
| 均匀带电直线 | E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}（无限长） |
6.2 高斯定理 ⭐⭐⭐
电通量
\Phi_e = \iint_S \vec{E} \cdot d\vec{S}
高斯定理
\boxed{\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{\text{内}}}
静电场中通过任意闭合曲面的电通量等于面内电荷代数和的 1/\varepsilon_0
适用条件：电荷分布具有对称性（球/柱/平面对称）
用高斯定理求对称电场 ⭐⭐
| 带电体 | 电场分布 |
|---|---|
| 均匀带电球体 | E = \begin{cases} \dfrac{rQ}{4\pi\varepsilon_0 R^3} & (r \leq R) \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} & (r > R) \end{cases} |
| 无限长均匀带电圆柱体 | E = \begin{cases} \dfrac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0 R^2} & (r \leq R) \\ \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} & (r > R) \end{cases} |
6.3 电势 ⭐⭐
静电场的环路定理
\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0
静电场是保守场（无旋场）
电势定义
U_P = \int_P^\infty \vec{E} \cdot d\vec{l}
电势差：U_{AB} = U_A - U_B = \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}
电势计算
| 带电体 | 方法 | 公式 |
|---|---|---|
| 一般电荷系 | 电势叠加 | U = \int \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r} |
| 球/柱对称 | 先求 E(r) 再积分 | U_P = \int_{r_P}^\infty E(r)dr |
| 点电荷 | — | U = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} |
电场强度与电势的关系
\vec{E} = -\nabla U, \quad E_x = -\frac{\partial U}{\partial x}
电场强度等于电势的负梯度；电场方向指向电势降低最快的方向
6.4 电场对电荷的作用
| 点电荷 q | 电偶极子 \vec{p} = q\vec{l} | |
|---|---|---|
| 受力/力矩 | \vec{F} = q\vec{E} | \vec{M} = \vec{p} \times \vec{E} |
| 势能 | W = qU | W = -\vec{p} \cdot \vec{E} |
| 电场力做功 | A_{ab} = q(U_a - U_b) |
第7章 静电场中的导体和电介质
7.1 导体的静电平衡 ⭐
静电平衡条件
- 导体内 \vec{E} = 0
- 导体表面电场垂直于表面
静电平衡时导体的性质
- 电场：内部为零，表面垂直
- 电势：整体是等势体，表面是等势面
- 电荷：内部无净电荷，只分布在表面
- 表面电场：E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}（尖端放电：曲率越大电荷密度越大）
空腔导体
- 空腔内场强为零，不受外电场影响（静电屏蔽）
- 内表面无电荷，电荷只分布在外表面
7.2 电容器的电容 ⭐
定义
\boxed{C = \frac{Q}{U_{AB}}}
常见电容器的电容
| 电容器 | 公式 |
|---|---|
| 平行板电容器 | C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d} |
| （有介质时） | C = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d} |
串并联
| 联接 | 特点 | 等效电容 |
|---|---|---|
| 串联 | 电量相等，总电压为分压和 | \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots |
| 并联 | 电压相等，总电量为各电量之和 | C = C_1 + C_2 + \cdots |
7.3 电介质 ⭐
极化强度
\vec{P} = \lim_{\Delta V \to 0} \frac{\sum \vec{p}_i}{\Delta V}
表面极化电荷面密度：\sigma' = P_n（法向分量）
电位移矢量
\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}
有介质时的高斯定理
\boxed{\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = \sum Q_{0\text{内}}}
电位移通量仅与面内自由电荷有关
各向同性线性电介质
\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} = \varepsilon\vec{E}
- \varepsilon_r：相对介电常量
- \varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r：介电常量
含介质对称电场求解步骤：
- 高斯定理求 \vec{D}（不考虑介质）
- \vec{E} = \vec{D}/\varepsilon
7.4 静电场的能量 ⭐
电容器储能
W_e = \frac{1}{2}QU = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}CU^2
电场能量密度
\boxed{w_e = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 = \frac{1}{2}DE}
总能量
W_e = \int_\Omega w_e\,dV