\displaystyle\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = \sum q & \text{（电场高斯定理）} \\[8pt] \displaystyle\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt} & \text{（法拉第电磁感应）} \\[8pt] \displaystyle\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 & \text{（磁场高斯定理）} \\[8pt] \displaystyle\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = \sum I_c + \frac{d\Phi_e}{dt} & \text{（全电流安培环路定理）} \end{cases}$$ --- # 第四部分：振动与波动 --- # 第10章 振动学基础 ## 10.1 简谐振动 ⭐⭐⭐ ### 标准形式 $$\boxed{x = A\cos(\omega t + \varphi)}$$ ### 判别条件 $$a = -\omega^2 x \quad \text{或} \quad F = -kx$$ （加速度/回复力与位移成正比且反向） ### 描述参量 | 参量 | 符号 | 决定因素 | |------|------|----------| | **振幅** | $A$ | 初始条件 | | **角频率** | $\omega$ | 系统固有性质 | | **初相** | $\varphi$ | 初始条件 | | **相位** | $\omega t + \varphi$ | 描述振动状态 | ### 弹簧振子 $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ ### 单摆（小角度） $$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$ ### 由初始条件求 $A$ 和 $\varphi$ ⭐ 已知 $t=0$ 时 $x = x_0$，$v = v_0$： $$\boxed{A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}}$$ $$\boxed{\tan\varphi = -\frac{v_0}{\omega x_0}}$$ ### 速度与加速度 $$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$$ $$a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$$ > 速度幅值 $v_m = A\omega$，加速度幅值 $a_m = A\omega^2$ ## 10.2 简谐振动的能量 ⭐ | 能量 | 表达式 | 特征 | |------|--------|------| | 动能 | $E_k = \dfrac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \varphi)$ | 周期性变化 | | 势能 | $E_p = \dfrac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi)$ | 周期性变化 | | **总机械能** | $\boxed{E = \dfrac{1}{2}kA^2}$ | 守恒！ | > 平均动能 = 平均势能 = 总能量的一半 ## 10.3 简谐振动的合成 ⭐ ### 同方向同频率合成 $$x = A\cos(\omega t + \varphi)$$ $$\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}}$$ $$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$$ | $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$ | 结果 | |--------------------------------------|------| | $\Delta\varphi = 2k\pi$ | 加强：$A = A_1 + A_2$ | | $\Delta\varphi = (2k+1)\pi$ | 减弱：$A = |A_1 - A_2|$ | ## 10.4 阻尼振动与受迫振动 | 类型 | 特征 | |------|------| | **阻尼振动** | 振幅随时间衰减（欠阻尼/过阻尼/临界阻尼） | | **受迫振动** | 稳定后频率 = 驱动力频率 | | **共振** | 驱动力频率 ≈ 固有频率时振幅最大 | --- # 第11章 波动学基础 ## 11.1 机械波的基本概念 ### 产生条件 1. **波源**（振源） 2. **弹性介质** ### 描述参量 | 参量 | 符号 | 关系 | |------|------|------| | 波长 | $\lambda$ | | | 周期 | $T$ | $T = 1/\nu$ | | 频率 | $\nu$ | | | 波速 | $c$ | $\boxed{\lambda = cT = \dfrac{c}{\nu}}$ | > 波速由介质决定，频率由波源决定，波长由波速和频率共同决定 ## 11.2 平面简谐波的波动方程 ⭐⭐⭐ ### 沿 $x$ 正方向传播 $$\boxed{y = A\cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{c}\right) + \varphi\right]}$$ $$\boxed{y = A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \varphi\right]}$$ ### 沿 $x$ 负方向传播 $$y = A\cos\left[\omega\left(t + \frac{x}{c}\right) + \varphi\right]$$ > 注意："$-$" 表示沿正方向传播，"$+$" 表示沿负方向传播 ### 波动方程的物理意义 - 固定 $x$（某点）→ 该点的振动方程 - 固定 $t$（某时刻）→ 该时刻的波形方程 ## 11.3 波的能量 ⭐ ### 能量密度 $$w = \rho A^2\omega^2\sin^2\omega(t - x/c)$$ ### 平均能量密度 $$\boxed{\overline{w} = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2}$$ ### 波的强度（能流密度） $$\boxed{I = \overline{w}c = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 c}$$ ## 11.4 波的干涉 ⭐⭐ ### 相干条件 两列波：频率相同、振动方向相同、相位差恒定 ### 合振幅 $$\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}}$$ ### 相位差公式 $$\boxed{\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 - \frac{2\pi}{\lambda}(r_2 - r_1)}$$ | $\Delta\varphi$ | 结果 | |-----------------|------| | $2k\pi$ | 干涉加强（$A = A_1 + A_2$） | | $(2k+1)\pi$ | 干涉减弱（$A = |A_1 - A_2|$） | ## 11.5 驻波 ⭐ 两列反向传播的相干波叠加形成。 ### 驻波方程 $$y = 2A_0\cos\frac{2\pi x}{\lambda}\cos\frac{2\pi t}{T}$$ ### 波节与波腹 | 位置 | 条件 | 公式 | |------|------|------| | **波腹** | 振幅最大 | $x = k\dfrac{\lambda}{2}$ | | **波节** | 振幅为零 | $x = (2k+1)\dfrac{\lambda}{4}$ | > 相邻波节（或波腹）间距 = $\dfrac{\lambda}{2}$ ## 11.6 惠更斯原理 波阵面上各点都可视为子波源，子波的包迹面就是新的波阵面。 **应用**：解释波的衍射、反射、折射 **折射定律**： $$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{c_1}{c_2}$$ --- # 第12章 波动光学 ## 12.1 相干光 ⭐ ### 获得方法 | 方法 | 原理 | 典型实验 | |------|------|----------| | 分波阵面 | 同一波阵面分出两束 | 杨氏双缝 | | 分振幅 | 通过薄膜反射/透射 | 薄膜干涉 | ### 光程与光程差 $$\boxed{L = nx}$$ - $n$：介质折射率 - $x$：几何路程 - 光程差 $\delta = L_2 - L_1$ ### 干涉明暗条件 $$\boxed{\delta = \begin{cases} \pm k\lambda & \text{明纹} \\ \pm(k + \frac{1}{2})\lambda & \text{暗纹} \end{cases}}$$ ## 12.2 杨氏双缝干涉 ⭐⭐⭐ ### 光程差 $$\delta = \frac{dx}{D}$$ ### 条纹位置 | 类型 | 位置 | |------|------| | 明纹 | $x = \pm k\dfrac{D\lambda}{d}$ | | 暗纹 | $x = \pm(k + \dfrac{1}{2})\dfrac{D\lambda}{d}$ | ### 条纹间距 $$\boxed{\Delta x = \frac{D\lambda}{d}}$$ - 条纹等间距、平行于狭缝 - $D$ 增大 → 间距增大；$d$ 增大 → 间距减小 ## 12.3 薄膜干涉 ⭐ ### 等厚干涉（厚度不均匀 + 平行光入射） 垂直入射时： $$\delta = 2n_2e + \delta'$$ $\delta'$ 为半波损失： - 两界面反射条件相同（都有或都无半波损失）→ $\delta' = 0$ - 仅一个界面有半波损失 → $\delta' = \dfrac{\lambda}{2}$ ### 牛顿环（等厚干涉特例） | 类型 | 半径公式 | |------|----------| | 明环 | $r = \sqrt{(k - \frac{1}{2})R\lambda}$（空气膜） | | 暗环 | $r = \sqrt{kR\lambda}$ | - 内疏外密同心圆 - 中心为暗斑（$k = 0$ 时） ### 等倾干涉（厚度均匀 + 扩展光源） 同一入射角的光形成同一级条纹。 ## 12.4 单缝夫琅禾费衍射 ⭐⭐ ### 暗纹条件 $$\boxed{a\sin\theta = \pm k\lambda \quad (k = 1, 2, 3, \cdots)}$$ - $a$：缝宽 - 中央明纹宽度 = $\dfrac{2\lambda f}{a}$，是其他明纹宽度的两倍 - 缝越窄，衍射越明显 ## 12.5 光学仪器分辨率 ### 瑞利判据 $$\boxed{\theta_R = 1.22\frac{\lambda}{D}}$$ 分辨率： $$M = \frac{1}{\theta_R}$$ > 口径越大、波长越短，分辨率越高 ## 12.6 光栅衍射 ⭐ ### 光栅方程（主极大条件） $$\boxed{(a + b)\sin\theta = \pm k\lambda}$$ - $a + b$：**光栅常数**，$d$ 为光栅常数 - $k = 0, 1, 2, \cdots$ ### 缺级条件 同时满足 $(a+b)\sin\theta = k\lambda$ 且 $a\sin\theta = k'\lambda$ 时缺级。 ## 12.7 光的偏振 ⭐ ### 偏振类型 | 类型 | 特征 | |------|------| | 自然光 | 各方向振动均匀 | | 线偏振光 | 仅沿某一方向振动 | | 部分偏振光 | 某方向振动占优势 | ### 马吕斯定律 ⭐⭐ $$\boxed{I = I_0\cos^2\alpha}$$ - $I_0$：入射偏振光强度 - $\alpha$：偏振光振动方向与检偏器透振方向的夹角 - 自然光通过检偏器：$I = \dfrac{I_0}{2}$ ### 布儒斯特定律 ⭐ 当入射角满足： $$\boxed{\tan i_B = \frac{n_2}{n_1}}$$ - $i_B$ 为布儒斯特角（起偏角） - 反射光为完全线偏振光（振动方向垂直入射面） - 满足 $i_B + r = 90°$ ### 双折射 各向异性介质中分为 **o 光**（寻常光，遵守折射定律）和 **e 光**（非寻常光），二者均为线偏振光。 --- # 附录A：狭义相对论基础 > 此部分知识点在模拟试卷和往年真题中均有涉及 ## A.1 基本假设 1. **相对性原理**：物理定律在所有惯性系中具有相同形式 2. **光速不变原理**：真空中光速 $c$ 在所有惯性系中相同 ## A.2 洛伦兹变换 设 $K'$ 系相对于 $K$ 系以速度 $v$ 沿 $x$ 轴正方向运动： $$x' = \gamma(x - vt), \quad t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$$ $$x = \gamma(x' + vt'), \quad t = \gamma\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right)$$ 其中：$\boxed{\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}$ ## A.3 相对论效应 ⭐⭐ ### 时间膨胀（动钟变慢） $$\boxed{\tau = \gamma\tau_0}$$ - $\tau_0$：固有时间（在本体参考系中测得的时间间隔） - 运动时钟走得慢 ### 长度收缩（动尺缩短） $$\boxed{L = \frac{L_0}{\gamma}}$$ - $L_0$：固有长度（在本体参考系中测得的长度） - 运动物体沿运动方向缩短 ### 相对论质量 $$m = \gamma m_0$$ ### 相对论动量 $$p = \gamma m_0 v$$ ### 相对论能量 ⭐⭐⭐ $$\boxed{E = mc^2 = \gamma m_0 c^2}$$ **静止能量**：$E_0 = m_0 c^2$ **动能**：$E_k = mc^2 - m_0 c^2 = (\gamma - 1)m_0 c^2$ **能量-动量关系**： $$\boxed{E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4}$$ ### 速度变换公式 $$u_x' = \frac{u_x - v}{1 - \dfrac{vu_x}{c^2}}$$ --- # 附录B：2025模拟试卷A卷详解 ## B.1 选择题答案与解析 | 题号 | 答案 | 考点 | 解析要点 | |------|------|------|----------| | 1 | **C** | 运动学积分 | $v = 4 + t^2$，积分得 $x = 4t + t^3/3 + C$，$t=3$ 时 $x=9$ → $C = -12$ | | 2 | **D** | 牛顿第二定律 | 撤去拉力瞬间，弹簧力不变。A受弹簧力向左 $>0$（减速），B受弹簧力向右但被摩擦力平衡 | | 3 | **A** | 动能定理 | 椭圆轨道，$t=0$ 时在 $x$ 轴，$t=\pi/2\omega$ 时在 $y$ 轴，用动能定理求功 | | 4 | **C** | 角动量守恒 | 碰撞前 $L=2mvL$（两球），碰撞后 $J_\text{总} = \frac{mL^2}{3} + 2mL^2 = \frac{7}{3}mL^2$，$\omega = 6v/7L$ | | 5 | **A** | 长度收缩 | $x$ 方向长度收缩为 $a\sqrt{1-0.8^2}=0.6a$，$y$ 方向不变，面积 $= 0.6a^2$ | | 6 | **B** | 高斯定理 | 有介质时高斯定理成立，但因介质不对称，$D$ 分布不对称，$E$ 不能简单求出 | | 7 | **D** | 电势与电场力做功 | 在同一条等势线上（同一圆周），电场力做功为零 | | 8 | **A** | 磁场叠加 | 四根导线在 O 点的磁场对称分布，矢量叠加为零 | | 9 | **B** | 带电粒子在磁场中运动 | 半径 $R = mv/qB$，半圆轨迹，出射点 $y = 2R = 2mv/qB$ | | 10 | **C** | 位移电流 | $L_1$ 包围面积只有部分电位移通量，$L_2$ 包围全部 | ## B.2 填空题答案 | 题号 | 答案 | 考点 | |------|------|------| | 1 | $a_n = 16Rt^2$，$\beta = 4$ rad/s² | 圆周运动：$\omega = d\theta/dt = 4t$，$a_n = R\omega^2$，$\beta = d\omega/dt$ | | 2 | $v_m = 2v - v_0$，$I = -2m(v - v_0)$ | 完全弹性碰撞（$M \gg m$），挡板速度近似不变 | | 3 | 11.5 m | 质心运动：先求质心加速度，再求 t=3s 时位移 | | 4 | $x \geq x_1$；动能为 $U_0$ | 总能量 $E=0$，运动范围是 $E_p(x) \leq 0$ 的区域 | | 5 | $\omega = \dfrac{7l^2\omega_0}{4(l^2 + 3x^2)}$ | 角动量守恒：初始 $L = (\frac{1}{3}ml^2 + m(l/2)^2)\omega_0 = \frac{7}{12}ml^2\omega_0$ | | 6 | $v = 0.91c$，$\tau = 5.31\times10^{-8}$ s | $E_k = (\gamma-1)m_0c^2$ → $\gamma$ → $v$；时间膨胀 $\tau = \gamma\tau_0$ | | 7 | $D = \sigma$，$E = \sigma/(\varepsilon_0\varepsilon_r)$ | 有介质高斯定理 | | 8 | $\dfrac{Q}{2\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 a}$ | $r = \sqrt{3}a/2$，$U = Q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ | | 9 | $T = IBR$ | 安培力分析：线圈导线的张力 | | 10 | 3.68 mV | $\mathcal{E} = \dfrac{d\Phi}{dt} = S_\text{有效}\cdot\dfrac{dB}{dt}$ | ## B.3 计算题详解 ### 第三题（10分）：变力作用下的运动 **题目**：子弹以 $v_0$ 射入沙土，阻力 $f = -Kv$。求：(1) $v(t)$；(2) 最大深度。 **解答**： **(1)** 由牛顿第二定律： $$-Kv = m\frac{dv}{dt}$$ 分离变量积分： $$-\frac{K}{m}\int_0^t dt = \int_{v_0}^v \frac{dv}{v}$$ $$\Rightarrow \boxed{v = v_0 e^{-Kt/m}}$$ **(2) 求最大深度** **法一**（用位移）： $$v = \frac{dx}{dt} \Rightarrow dx = v_0 e^{-Kt/m} dt$$ $$\int_0^x dx = v_0\int_0^t e^{-Kt/m} dt$$ $$x = \frac{mv_0}{K}(1 - e^{-Kt/m})$$ 令 $t \to \infty$：$\boxed{x_{\max} = \dfrac{mv_0}{K}}$ **法二**（用 $dv/dx$）： $$-Kv = m\frac{dv}{dt} = mv\frac{dv}{dx}$$ $$dx = -\frac{m}{K}dv$$ $$\int_0^{x_{\max}} dx = -\frac{m}{K}\int_{v_0}^0 dv \Rightarrow \boxed{x_{\max} = \frac{mv_0}{K}}$$ ### 第四题（10分）：带电半圆环的电场 **题目**：半径为 $R$ 的半圆形细玻璃棒，上半均匀分布 $+Q$，下半均匀分布 $-Q$，求圆心 O 处电场。 **解题思路**： 1. 取 $d\theta$ 微元，$dq = \lambda dl = \dfrac{2Q}{\pi}d\theta$ 2. $dE = \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ 3. 分解：$dE_x = dE\sin\theta$，$dE_y = -dE\cos\theta$ 4. 积分（上半正电荷 $0\to\pi/2$，下半负电荷 $\pi/2\to\pi$）： $$E_x = 0 \quad (\text{对称性})$$ $$E_y = -\frac{Q}{\pi^2\varepsilon_0 R^2}$$ **答案**：$\boxed{\vec{E} = -\dfrac{Q}{\pi^2\varepsilon_0 R^2}\,\vec{j}}$ ### 第五题（10分）：平行长直导线的磁场 **题目**：两平行导线通反向电流 $I$，距 $x$ 轴均为 $a$。求 $x$ 轴上任意点的 $\vec{B}(x)$ 及最大值位置。 **解答**： **(1)** 由安培环路定理，每根导线在 P 点磁感强度： $$B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi\sqrt{a^2 + x^2}}$$ 矢量叠加（$y$ 分量抵消，$x$ 分量相加）： $$\boxed{\vec{B}(x) = \frac{\mu_0 I a}{\pi(a^2 + x^2)}\,\vec{i}}$$ **(2)** 求极值：$\dfrac{dB}{dx} = 0$ $\Rightarrow \boxed{x = 0}$ 处 $B$ 最大，$B_{\max} = \dfrac{\mu_0 I}{\pi a}$ ### 第六题（10分）：螺线管中的电磁感应 **题目**：长直螺线管（$l, b, N$）与电阻 $R$、电源 $\varepsilon$ 构成 RL 回路，内部 45° 放置半径 $a$ 的导体圆环（电阻 $r$）。 **(1)** RL 回路电流： $$I = \frac{\varepsilon}{R}(1 - e^{-Rt/L}), \quad L = \mu_0\frac{N^2}{l}\pi b^2$$ **(2)** 穿过圆环磁通量： $$\Phi = BS\cos45° = \mu_0\frac{N}{l}I\pi a^2\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 感应电流： $$i = \frac{\sqrt{2}\varepsilon a^2}{2Nb^2 r}e^{-Rt/L}$$ **(3)** 最大磁力矩（$t = \dfrac{L}{R}\ln2$ 时）： $$T_{\max} = \frac{\pi a^4 \mu_0 \varepsilon^2}{8b^2 r R l}$$ --- # 附录C：2022年往年真题 ## C.1 选择题（部分代表性题目） | 题号 | 答案 | 考点 | |------|------|------| | 1 | **C** | 变加速运动 $dv/dt = -kv^2t$ → 分离变量积分 | | 2 | **B** | 变力做功 $W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r}$，路径从 $(0,0)$ 到 $(0,2R)$ | | 3 | **D** | 火箭变质量问题，$v = u\ln(m_0/m) - gt$ | | 4 | **A** | 角动量守恒：$J\omega_0 = (J + mR^2)\omega$ | | 5 | **C** | 相对论质量+长度收缩综合计算 | | 6 | **B** | $E$-$r$ 图判断带电体类型 | | 7 | **A** | 电场力做功→动能定理 | | 8 | **D** | 小圆线圈在 $r \ll R$ 时受力矩为零 | | 9 | **B** | 电子在磁场中偏转 $R = p/eB$ | | 10 | **A** | $M_{12} = M_{21}$，互感电动势比较 | ## C.2 填空题（部分代表性题目） | 题号 | 答案 | 考点 | |------|------|------| | 1 | $S(t) = \dfrac{ct^3}{3}$，$a_t = 2ct$，$a_n = \dfrac{c^2t^4}{R}$ | $v = ct^2$ → 积分得 $S$；$a_t = dv/dt$；$a_n = v^2/R$ | | 4 | $J_\text{边} = \dfrac{mL^2}{3}$，$J_\text{中心} = \dfrac{mL^2}{6}$ | 正方形薄板对边和对中心的转动惯量 | | 5 | $W = (\gamma - 1)m_e c^2$，$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-0.6^2}} = 1.25$ | 电子加速到 0.6c 需做功 | | 9 | $W = \dfrac{1}{2}LI^2 = 9.6$ J | 电感储能 | ## C.3 计算题（部分代表性题目） ### 第1题：组合圆柱体的转动 两个同轴圆柱体（$R, M$ 和 $r, m$），绳挂 $m_1, m_2$。 **解题要点**： 1. 列各物体动力学方程 2. 无滑动条件：$a_1 = R\beta$，$a_2 = r\beta$ 3. 转动定律：$TR - T'r = J\beta$（注意力矩方向） ### 第2题：非均匀带电圆柱面的场强 电荷面密度 $\sigma = \sigma_0\cos\phi$，求轴线上电场。 **解题要点**： 1. 取 $dS = R\,d\phi \cdot l$，$dq = \sigma dS = \sigma_0\cos\phi \cdot Rl\,d\phi$ 2. $dE = \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ 3. 分解积分：$\int_0^{2\pi} \cos\phi\,d\phi = 0$ → 某些分量抵消 ### 第3题：电子在电磁场中的运动 **解题要点**： 1. 电子在电场中加速 → 获得速度 2. 在磁场中做圆周运动 3. 当 $R \leq d$ 时电子无法到达正极板 4. 临界条件 $R = d$ → $B_{\min}$ --- # 🔥 重点公式速查卡 ## 力学 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 1 | $v = R\omega, a_\tau = R\beta, a_n = v^2/R$ | 圆周运动角量与线量 | | 2 | $\vec{F} = m\vec{a}$ | 牛二（惯性系） | | 3 | $\vec{p} = \sum m_i\vec{v}_i = M\vec{v}_C$ | 质点系动量 | | 4 | $A = E_k - E_{k0}$ | 动能定理 | | 5 | $E = E_k + E_p$ | 机械能 | | 6 | $\vec{F}_{\text{合外}} = M\vec{a}_C$ | 质心运动定理 | | 7 | $M = J\beta$ | 转动定律 | | 8 | $L = J\omega$ | 角动量 | | 9 | $J = J_C + md^2$ | 平行轴定理 | | 10 | 角动量守恒：$L = C$ | $M_\text{合外} = 0$ | ## 热学 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 11 | $pV = \nu RT$ | 理想气体状态方程 | | 12 | $Q = \Delta E + W$ | 热力学第一定律 | | 13 | $\eta = 1 - Q_2/Q_1$，$\eta_C = 1 - T_2/T_1$ | 热机效率 | | 14 | $\bar{\varepsilon}_{kt} = \frac{3}{2}kT$ | 温度微观意义 | | 15 | $p = \frac{2}{3}n\bar{\varepsilon}_{kt}$ | 压强微观公式 | ## 电磁学 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 16 | $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \sum q/\varepsilon_0$ | 高斯定理 | | 17 | $U_P = \int_P^\infty \vec{E} \cdot d\vec{l}$ | 电势定义 | | 18 | $\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = \sum Q_{0}$ | 有介质高斯定理 | | 19 | $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}$ | 毕-萨定律 | | 20 | $\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0\sum I$ | 安培环路定理 | | 21 | $d\vec{F} = Id\vec{l} \times \vec{B}$ / $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$ | 安培力/洛伦兹力 | | 22 | $\mathcal{E}_i = -d\Phi/dt$ | 法拉第定律 | | 23 | $\mathcal{E}_L = -L\,dI/dt$ | 自感 | | 24 | $W_m = \frac{1}{2}LI^2$ | 磁场能量 | ## 振动与波动 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 25 | $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ | 简谐振动 | | 26 | $E = \frac{1}{2}kA^2$ | 振动总能量 | | 27 | $y = A\cos[\omega(t\mp x/c) + \varphi]$ | 波动方程 | | 28 | $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 - 2\pi(r_2-r_1)/\lambda$ | 干涉相位差 | ## 光学 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 29 | $\delta = dx/D$，$\Delta x = D\lambda/d$ | 杨氏双缝 | | 30 | $a\sin\theta = \pm k\lambda$ | 单缝衍射暗纹 | | 31 | $(a+b)\sin\theta = \pm k\lambda$ | 光栅主极大 | | 32 | $I = I_0\cos^2\alpha$ | 马吕斯定律 | | 33 | $\tan i_B = n_2/n_1$ | 布儒斯特角 | ## 相对论 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 34 | $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ | 洛伦兹因子 | | 35 | $\tau = \gamma\tau_0$，$L = L_0/\gamma$ | 时间膨胀/长度收缩 | | 36 | $E = \gamma m_0c^2$，$E_0 = m_0c^2$ | 质能关系 | --- # 📌 复习策略与注意事项 ## 考试信息 - **题型**：选择(30) + 填空(30) + 计算(40) - **时间**：闭卷 120 分钟 - **重点章节**：力学(1-3章) ≈ 电磁学(6-9章半) > 振动波动 > 热学 > 相对论 > 光学 ## 高频考点 | 优先级 | 内容 | 典型考法 | |--------|------|----------| | ⭐⭐⭐ | 刚体转动（角动量守恒） | 计算题必有 | | ⭐⭐⭐ | RL 回路 + 电磁感应 | 综合计算 | | ⭐⭐⭐ | 电场 + 电势计算 | 积分求场强 | | ⭐⭐⭐ | 磁场计算 + 安培力 | 选择/填空/计算 | | ⭐⭐ | 相对论（长度收缩、时间膨胀） | 选择/填空 | | ⭐⭐ | 振动方程 + 波动方程 | 选择/填空 | | ⭐⭐ | 运动学积分 | 选择/填空 | ## 易错点提醒 1. 平均速度大小 ≠ 平均速率 2. 位移大小 ≠ 路程 3. 三要素法定初始值时，除 $u_C, i_L$ 外的量需额外计算 4. 保守力做功与路径无关；摩擦力做功与路径有关 5. 角动量守恒 ≠ 动量守恒（需分别判断条件） 6. 质能关系 $E = mc^2$ 中是总能量，动能 $E_k = (\gamma-1)m_0c^2$ 7. 电磁感应负号表示方向（楞次定律），计算大小时可取绝对值 8. 干涉明暗条件中的 $\pm k\lambda$ 和 $\pm(k+1/2)\lambda$ --- > 💡 建议：考前三天重点刷模拟试卷 + 往年真题，理解每道题的解题逻辑而不是死记硬背。# 基础物理学 B(1) — 期末复习资料（下） > 接上篇：第8章～第12章 + 狭义相对论 + 模拟试卷与往年真题 --- # 第8章 稳恒磁场 ## 8.1 磁感应强度与毕奥-萨伐尔定律 ⭐⭐ ### 磁感应强度定义 $$B = \frac{M_{\max}}{p_m}$$ - $p_m = IS$：载流线圈的磁矩 - 方向：试验线圈平衡时磁矩方向 ### 毕奥-萨伐尔定律 $$\boxed{d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}}$$ 大小：$dB = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{Idl\sin\alpha}{r^2}$ 总磁场：$\vec{B} = \int d\vec{B}$（矢量积分，先分解再积分） ### 常见电流的磁场 ⭐⭐ | 电流 | 磁场 | |------|------| | 无限长直导线 | $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$ | | 环形电流圆心 | $B = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$ | | 环形电流轴线 | $B = \dfrac{\mu_0 R^2 I}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$ | ## 8.2 磁场的高斯定理与安培环路定理 ### 磁通量 $$\Phi_m = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S}$$ ### 磁场高斯定理 $$\boxed{\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0}$$ > 磁场是无源场（不存在磁单极子） ### 安培环路定理 ⭐⭐⭐ $$\boxed{\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = \sum I_{\text{传导}}}$$ $$\boxed{\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}}$$ ### 用安培环路定理求对称磁场 | 载流结构 | 磁场分布 | |----------|----------| | 长直螺线管（管内） | $B = \mu_0 nI$（$n$ 为单位长度匝数） | | 环形螺线管 | $B = \dfrac{\mu_0 NI}{2\pi r}$ | | 无限长圆柱导体 | $B = \begin{cases} \dfrac{\mu_0 Ir}{2\pi R^2} & (r \leq R) \\ \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} & (r > R) \end{cases}$ | ## 8.3 磁场对电流的作用 ⭐⭐ ### 安培力 $$\boxed{d\vec{F} = Id\vec{l} \times \vec{B}}$$ 大小：$dF = BIdl\sin\alpha$ 总力：$\vec{F} = \int Id\vec{l} \times \vec{B}$ ### 载流线圈在匀强磁场中的力矩 $$\boxed{\vec{M} = \vec{p}_m \times \vec{B}}$$ 大小：$M = p_m B\sin\varphi = ISB\sin\varphi$ ### 洛伦兹力 $$\boxed{\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}}$$ 大小：$F = qvB\sin\theta$ - 正电荷受力方向：$\vec{v} \times \vec{B}$ 方向 - 洛伦兹力不做功（始终垂直于速度） ### 带电粒子在匀强磁场中的运动 - $\vec{v} \perp \vec{B}$：匀速圆周运动，半径 $R = \dfrac{mv}{qB}$，周期 $T = \dfrac{2\pi m}{qB}$ - $\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 成任意角：螺旋运动 ## 8.4 磁介质 ### 磁场强度定义 $$\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}$$ ### 有磁介质的安培环路定理 $$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = \sum I_{\text{传导}}$$ ### 均匀线性各向同性磁介质 $$\vec{B} = \mu_0\mu_r\vec{H} = \mu\vec{H}$$ - $\mu_r$：相对磁导率（顺磁质 $>1$，抗磁质 $<1$，铁磁质 $\gg 1$） --- # 第9章 电磁感应 ## 9.1 法拉第电磁感应定律 ⭐⭐⭐ $$\boxed{\mathcal{E}_i = -\frac{d\Phi}{dt}}$$ - 多匝线圈：$\mathcal{E}_i = -\dfrac{d\Psi}{dt}$（$\Psi = N\Phi$ 为全磁通/磁链） - 负号表示感应电动势方向（楞次定律）：感应电流的磁通总是**阻碍**原磁通的变化 ### 楞次定律 感应电流的方向总是使它所激发的磁场**阻碍**引起感应电流的磁通变化。 ## 9.2 动生电动势 ⭐⭐ $$\boxed{\mathcal{E}_{AB} = \int_A^B (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}}$$ - 产生原因：导体在磁场中运动，洛伦兹力使电荷分离 - 直导线在匀强磁场中：$\mathcal{E} = Blv$（$l, v, B$ 两两垂直） ## 9.3 感生电动势 $$\mathcal{E}_{AB} = \int_A^B \vec{E}_v \cdot d\vec{l}$$ - 感生电场 $\vec{E}_v$ 由变化的磁场产生 - 感生电场是有旋场（非保守场）：$\oint \vec{E}_v \cdot d\vec{l} = -\dfrac{d\Phi}{dt}$ ## 9.4 自感与互感 ⭐ ### 自感 $$\boxed{L = \frac{\Psi}{I}}$$ $$\boxed{\mathcal{E}_L = -L\frac{dI}{dt}}$$ - 长直螺线管自感：$L = \mu_0 n^2 V = \mu_0 \dfrac{N^2}{l}\pi R^2$ ### 互感 $$\boxed{M = \frac{\Psi_{21}}{I_1} = \frac{\Psi_{12}}{I_2}}$$ $$\mathcal{E}_{21} = -M\frac{dI_1}{dt}$$ > $M_{12} = M_{21}$（互感系数相同） ## 9.5 磁场的能量 ⭐ ### 电感储能 $$W_m = \frac{1}{2}LI^2$$ ### 磁场能量密度 $$\boxed{w_m = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{1}{2}\mu_0 H^2 = \frac{1}{2}BH}$$ ### 总能量 $$W_m = \iiint w_m\,dV$$ ## 9.6 位移电流与麦克斯韦方程组 ⭐ ### 位移电流 变化的电场等效为位移电流： $$I_d = \frac{d\Phi_e}{dt}$$ 位移电流密度：$\vec{\delta}_d = \dfrac{d\vec{D}}{dt}$ ### 麦克斯韦方程组（积分形式） $$\begin{cases} \displaystyle\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = \sum q & \text{（电场高斯定理）} \\[8pt] \displaystyle\oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt} & \text{（法拉第电磁感应）} \\[8pt] \displaystyle\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0 & \text{（磁场高斯定理）} \\[8pt] \displaystyle\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = \sum I_c + \frac{d\Phi_e}{dt} & \text{（全电流安培环路定理）} \end{cases}$$ --- # 第四部分：振动与波动 --- # 第10章 振动学基础 ## 10.1 简谐振动 ⭐⭐⭐ ### 标准形式 $$\boxed{x = A\cos(\omega t + \varphi)}$$ ### 判别条件 $$a = -\omega^2 x \quad \text{或} \quad F = -kx$$ （加速度/回复力与位移成正比且反向） ### 描述参量 | 参量 | 符号 | 决定因素 | |------|------|----------| | **振幅** | $A$ | 初始条件 | | **角频率** | $\omega$ | 系统固有性质 | | **初相** | $\varphi$ | 初始条件 | | **相位** | $\omega t + \varphi$ | 描述振动状态 | ### 弹簧振子 $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ ### 单摆（小角度） $$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$ ### 由初始条件求 $A$ 和 $\varphi$ ⭐ 已知 $t=0$ 时 $x = x_0$，$v = v_0$： $$\boxed{A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}}$$ $$\boxed{\tan\varphi = -\frac{v_0}{\omega x_0}}$$ ### 速度与加速度 $$v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$$ $$a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$$ > 速度幅值 $v_m = A\omega$，加速度幅值 $a_m = A\omega^2$ ## 10.2 简谐振动的能量 ⭐ | 能量 | 表达式 | 特征 | |------|--------|------| | 动能 | $E_k = \dfrac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t + \varphi)$ | 周期性变化 | | 势能 | $E_p = \dfrac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \varphi)$ | 周期性变化 | | **总机械能** | $\boxed{E = \dfrac{1}{2}kA^2}$ | 守恒！ | > 平均动能 = 平均势能 = 总能量的一半 ## 10.3 简谐振动的合成 ⭐ ### 同方向同频率合成 $$x = A\cos(\omega t + \varphi)$$ $$\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}}$$ $$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$$ | $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$ | 结果 | |--------------------------------------|------| | $\Delta\varphi = 2k\pi$ | 加强：$A = A_1 + A_2$ | | $\Delta\varphi = (2k+1)\pi$ | 减弱：$A = |A_1 - A_2|$ | ## 10.4 阻尼振动与受迫振动 | 类型 | 特征 | |------|------| | **阻尼振动** | 振幅随时间衰减（欠阻尼/过阻尼/临界阻尼） | | **受迫振动** | 稳定后频率 = 驱动力频率 | | **共振** | 驱动力频率 ≈ 固有频率时振幅最大 | --- # 第11章 波动学基础 ## 11.1 机械波的基本概念 ### 产生条件 1. **波源**（振源） 2. **弹性介质** ### 描述参量 | 参量 | 符号 | 关系 | |------|------|------| | 波长 | $\lambda$ | | | 周期 | $T$ | $T = 1/\nu$ | | 频率 | $\nu$ | | | 波速 | $c$ | $\boxed{\lambda = cT = \dfrac{c}{\nu}}$ | > 波速由介质决定，频率由波源决定，波长由波速和频率共同决定 ## 11.2 平面简谐波的波动方程 ⭐⭐⭐ ### 沿 $x$ 正方向传播 $$\boxed{y = A\cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{c}\right) + \varphi\right]}$$ $$\boxed{y = A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) + \varphi\right]}$$ ### 沿 $x$ 负方向传播 $$y = A\cos\left[\omega\left(t + \frac{x}{c}\right) + \varphi\right]$$ > 注意："$-$" 表示沿正方向传播，"$+$" 表示沿负方向传播 ### 波动方程的物理意义 - 固定 $x$（某点）→ 该点的振动方程 - 固定 $t$（某时刻）→ 该时刻的波形方程 ## 11.3 波的能量 ⭐ ### 能量密度 $$w = \rho A^2\omega^2\sin^2\omega(t - x/c)$$ ### 平均能量密度 $$\boxed{\overline{w} = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2}$$ ### 波的强度（能流密度） $$\boxed{I = \overline{w}c = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2 c}$$ ## 11.4 波的干涉 ⭐⭐ ### 相干条件 两列波：频率相同、振动方向相同、相位差恒定 ### 合振幅 $$\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}}$$ ### 相位差公式 $$\boxed{\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 - \frac{2\pi}{\lambda}(r_2 - r_1)}$$ | $\Delta\varphi$ | 结果 | |-----------------|------| | $2k\pi$ | 干涉加强（$A = A_1 + A_2$） | | $(2k+1)\pi$ | 干涉减弱（$A = |A_1 - A_2|$） | ## 11.5 驻波 ⭐ 两列反向传播的相干波叠加形成。 ### 驻波方程 $$y = 2A_0\cos\frac{2\pi x}{\lambda}\cos\frac{2\pi t}{T}$$ ### 波节与波腹 | 位置 | 条件 | 公式 | |------|------|------| | **波腹** | 振幅最大 | $x = k\dfrac{\lambda}{2}$ | | **波节** | 振幅为零 | $x = (2k+1)\dfrac{\lambda}{4}$ | > 相邻波节（或波腹）间距 = $\dfrac{\lambda}{2}$ ## 11.6 惠更斯原理 波阵面上各点都可视为子波源，子波的包迹面就是新的波阵面。 **应用**：解释波的衍射、反射、折射 **折射定律**： $$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{c_1}{c_2}$$ --- # 第12章 波动光学 ## 12.1 相干光 ⭐ ### 获得方法 | 方法 | 原理 | 典型实验 | |------|------|----------| | 分波阵面 | 同一波阵面分出两束 | 杨氏双缝 | | 分振幅 | 通过薄膜反射/透射 | 薄膜干涉 | ### 光程与光程差 $$\boxed{L = nx}$$ - $n$：介质折射率 - $x$：几何路程 - 光程差 $\delta = L_2 - L_1$ ### 干涉明暗条件 $$\boxed{\delta = \begin{cases} \pm k\lambda & \text{明纹} \\ \pm(k + \frac{1}{2})\lambda & \text{暗纹} \end{cases}}$$ ## 12.2 杨氏双缝干涉 ⭐⭐⭐ ### 光程差 $$\delta = \frac{dx}{D}$$ ### 条纹位置 | 类型 | 位置 | |------|------| | 明纹 | $x = \pm k\dfrac{D\lambda}{d}$ | | 暗纹 | $x = \pm(k + \dfrac{1}{2})\dfrac{D\lambda}{d}$ | ### 条纹间距 $$\boxed{\Delta x = \frac{D\lambda}{d}}$$ - 条纹等间距、平行于狭缝 - $D$ 增大 → 间距增大；$d$ 增大 → 间距减小 ## 12.3 薄膜干涉 ⭐ ### 等厚干涉（厚度不均匀 + 平行光入射） 垂直入射时： $$\delta = 2n_2e + \delta'$$ $\delta'$ 为半波损失： - 两界面反射条件相同（都有或都无半波损失）→ $\delta' = 0$ - 仅一个界面有半波损失 → $\delta' = \dfrac{\lambda}{2}$ ### 牛顿环（等厚干涉特例） | 类型 | 半径公式 | |------|----------| | 明环 | $r = \sqrt{(k - \frac{1}{2})R\lambda}$（空气膜） | | 暗环 | $r = \sqrt{kR\lambda}$ | - 内疏外密同心圆 - 中心为暗斑（$k = 0$ 时） ### 等倾干涉（厚度均匀 + 扩展光源） 同一入射角的光形成同一级条纹。 ## 12.4 单缝夫琅禾费衍射 ⭐⭐ ### 暗纹条件 $$\boxed{a\sin\theta = \pm k\lambda \quad (k = 1, 2, 3, \cdots)}$$ - $a$：缝宽 - 中央明纹宽度 = $\dfrac{2\lambda f}{a}$，是其他明纹宽度的两倍 - 缝越窄，衍射越明显 ## 12.5 光学仪器分辨率 ### 瑞利判据 $$\boxed{\theta_R = 1.22\frac{\lambda}{D}}$$ 分辨率： $$M = \frac{1}{\theta_R}$$ > 口径越大、波长越短，分辨率越高 ## 12.6 光栅衍射 ⭐ ### 光栅方程（主极大条件） $$\boxed{(a + b)\sin\theta = \pm k\lambda}$$ - $a + b$：**光栅常数**，$d$ 为光栅常数 - $k = 0, 1, 2, \cdots$ ### 缺级条件 同时满足 $(a+b)\sin\theta = k\lambda$ 且 $a\sin\theta = k'\lambda$ 时缺级。 ## 12.7 光的偏振 ⭐ ### 偏振类型 | 类型 | 特征 | |------|------| | 自然光 | 各方向振动均匀 | | 线偏振光 | 仅沿某一方向振动 | | 部分偏振光 | 某方向振动占优势 | ### 马吕斯定律 ⭐⭐ $$\boxed{I = I_0\cos^2\alpha}$$ - $I_0$：入射偏振光强度 - $\alpha$：偏振光振动方向与检偏器透振方向的夹角 - 自然光通过检偏器：$I = \dfrac{I_0}{2}$ ### 布儒斯特定律 ⭐ 当入射角满足： $$\boxed{\tan i_B = \frac{n_2}{n_1}}$$ - $i_B$ 为布儒斯特角（起偏角） - 反射光为完全线偏振光（振动方向垂直入射面） - 满足 $i_B + r = 90°$ ### 双折射 各向异性介质中分为 **o 光**（寻常光，遵守折射定律）和 **e 光**（非寻常光），二者均为线偏振光。 --- # 附录A：狭义相对论基础 > 此部分知识点在模拟试卷和往年真题中均有涉及 ## A.1 基本假设 1. **相对性原理**：物理定律在所有惯性系中具有相同形式 2. **光速不变原理**：真空中光速 $c$ 在所有惯性系中相同 ## A.2 洛伦兹变换 设 $K'$ 系相对于 $K$ 系以速度 $v$ 沿 $x$ 轴正方向运动： $$x' = \gamma(x - vt), \quad t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$$ $$x = \gamma(x' + vt'), \quad t = \gamma\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right)$$ 其中：$\boxed{\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}}$ ## A.3 相对论效应 ⭐⭐ ### 时间膨胀（动钟变慢） $$\boxed{\tau = \gamma\tau_0}$$ - $\tau_0$：固有时间（在本体参考系中测得的时间间隔） - 运动时钟走得慢 ### 长度收缩（动尺缩短） $$\boxed{L = \frac{L_0}{\gamma}}$$ - $L_0$：固有长度（在本体参考系中测得的长度） - 运动物体沿运动方向缩短 ### 相对论质量 $$m = \gamma m_0$$ ### 相对论动量 $$p = \gamma m_0 v$$ ### 相对论能量 ⭐⭐⭐ $$\boxed{E = mc^2 = \gamma m_0 c^2}$$ **静止能量**：$E_0 = m_0 c^2$ **动能**：$E_k = mc^2 - m_0 c^2 = (\gamma - 1)m_0 c^2$ **能量-动量关系**： $$\boxed{E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4}$$ ### 速度变换公式 $$u_x' = \frac{u_x - v}{1 - \dfrac{vu_x}{c^2}}$$ --- # 附录B：2025模拟试卷A卷详解 ## B.1 选择题答案与解析 | 题号 | 答案 | 考点 | 解析要点 | |------|------|------|----------| | 1 | **C** | 运动学积分 | $v = 4 + t^2$，积分得 $x = 4t + t^3/3 + C$，$t=3$ 时 $x=9$ → $C = -12$ | | 2 | **D** | 牛顿第二定律 | 撤去拉力瞬间，弹簧力不变。A受弹簧力向左 $>0$（减速），B受弹簧力向右但被摩擦力平衡 | | 3 | **A** | 动能定理 | 椭圆轨道，$t=0$ 时在 $x$ 轴，$t=\pi/2\omega$ 时在 $y$ 轴，用动能定理求功 | | 4 | **C** | 角动量守恒 | 碰撞前 $L=2mvL$（两球），碰撞后 $J_\text{总} = \frac{mL^2}{3} + 2mL^2 = \frac{7}{3}mL^2$，$\omega = 6v/7L$ | | 5 | **A** | 长度收缩 | $x$ 方向长度收缩为 $a\sqrt{1-0.8^2}=0.6a$，$y$ 方向不变，面积 $= 0.6a^2$ | | 6 | **B** | 高斯定理 | 有介质时高斯定理成立，但因介质不对称，$D$ 分布不对称，$E$ 不能简单求出 | | 7 | **D** | 电势与电场力做功 | 在同一条等势线上（同一圆周），电场力做功为零 | | 8 | **A** | 磁场叠加 | 四根导线在 O 点的磁场对称分布，矢量叠加为零 | | 9 | **B** | 带电粒子在磁场中运动 | 半径 $R = mv/qB$，半圆轨迹，出射点 $y = 2R = 2mv/qB$ | | 10 | **C** | 位移电流 | $L_1$ 包围面积只有部分电位移通量，$L_2$ 包围全部 | ## B.2 填空题答案 | 题号 | 答案 | 考点 | |------|------|------| | 1 | $a_n = 16Rt^2$，$\beta = 4$ rad/s² | 圆周运动：$\omega = d\theta/dt = 4t$，$a_n = R\omega^2$，$\beta = d\omega/dt$ | | 2 | $v_m = 2v - v_0$，$I = -2m(v - v_0)$ | 完全弹性碰撞（$M \gg m$），挡板速度近似不变 | | 3 | 11.5 m | 质心运动：先求质心加速度，再求 t=3s 时位移 | | 4 | $x \geq x_1$；动能为 $U_0$ | 总能量 $E=0$，运动范围是 $E_p(x) \leq 0$ 的区域 | | 5 | $\omega = \dfrac{7l^2\omega_0}{4(l^2 + 3x^2)}$ | 角动量守恒：初始 $L = (\frac{1}{3}ml^2 + m(l/2)^2)\omega_0 = \frac{7}{12}ml^2\omega_0$ | | 6 | $v = 0.91c$，$\tau = 5.31\times10^{-8}$ s | $E_k = (\gamma-1)m_0c^2$ → $\gamma$ → $v$；时间膨胀 $\tau = \gamma\tau_0$ | | 7 | $D = \sigma$，$E = \sigma/(\varepsilon_0\varepsilon_r)$ | 有介质高斯定理 | | 8 | $\dfrac{Q}{2\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 a}$ | $r = \sqrt{3}a/2$，$U = Q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ | | 9 | $T = IBR$ | 安培力分析：线圈导线的张力 | | 10 | 3.68 mV | $\mathcal{E} = \dfrac{d\Phi}{dt} = S_\text{有效}\cdot\dfrac{dB}{dt}$ | ## B.3 计算题详解 ### 第三题（10分）：变力作用下的运动 **题目**：子弹以 $v_0$ 射入沙土，阻力 $f = -Kv$。求：(1) $v(t)$；(2) 最大深度。 **解答**： **(1)** 由牛顿第二定律： $$-Kv = m\frac{dv}{dt}$$ 分离变量积分： $$-\frac{K}{m}\int_0^t dt = \int_{v_0}^v \frac{dv}{v}$$ $$\Rightarrow \boxed{v = v_0 e^{-Kt/m}}$$ **(2) 求最大深度** **法一**（用位移）： $$v = \frac{dx}{dt} \Rightarrow dx = v_0 e^{-Kt/m} dt$$ $$\int_0^x dx = v_0\int_0^t e^{-Kt/m} dt$$ $$x = \frac{mv_0}{K}(1 - e^{-Kt/m})$$ 令 $t \to \infty$：$\boxed{x_{\max} = \dfrac{mv_0}{K}}$ **法二**（用 $dv/dx$）： $$-Kv = m\frac{dv}{dt} = mv\frac{dv}{dx}$$ $$dx = -\frac{m}{K}dv$$ $$\int_0^{x_{\max}} dx = -\frac{m}{K}\int_{v_0}^0 dv \Rightarrow \boxed{x_{\max} = \frac{mv_0}{K}}$$ ### 第四题（10分）：带电半圆环的电场 **题目**：半径为 $R$ 的半圆形细玻璃棒，上半均匀分布 $+Q$，下半均匀分布 $-Q$，求圆心 O 处电场。 **解题思路**： 1. 取 $d\theta$ 微元，$dq = \lambda dl = \dfrac{2Q}{\pi}d\theta$ 2. $dE = \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ 3. 分解：$dE_x = dE\sin\theta$，$dE_y = -dE\cos\theta$ 4. 积分（上半正电荷 $0\to\pi/2$，下半负电荷 $\pi/2\to\pi$）： $$E_x = 0 \quad (\text{对称性})$$ $$E_y = -\frac{Q}{\pi^2\varepsilon_0 R^2}$$ **答案**：$\boxed{\vec{E} = -\dfrac{Q}{\pi^2\varepsilon_0 R^2}\,\vec{j}}$ ### 第五题（10分）：平行长直导线的磁场 **题目**：两平行导线通反向电流 $I$，距 $x$ 轴均为 $a$。求 $x$ 轴上任意点的 $\vec{B}(x)$ 及最大值位置。 **解答**： **(1)** 由安培环路定理，每根导线在 P 点磁感强度： $$B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi\sqrt{a^2 + x^2}}$$ 矢量叠加（$y$ 分量抵消，$x$ 分量相加）： $$\boxed{\vec{B}(x) = \frac{\mu_0 I a}{\pi(a^2 + x^2)}\,\vec{i}}$$ **(2)** 求极值：$\dfrac{dB}{dx} = 0$ $\Rightarrow \boxed{x = 0}$ 处 $B$ 最大，$B_{\max} = \dfrac{\mu_0 I}{\pi a}$ ### 第六题（10分）：螺线管中的电磁感应 **题目**：长直螺线管（$l, b, N$）与电阻 $R$、电源 $\varepsilon$ 构成 RL 回路，内部 45° 放置半径 $a$ 的导体圆环（电阻 $r$）。 **(1)** RL 回路电流： $$I = \frac{\varepsilon}{R}(1 - e^{-Rt/L}), \quad L = \mu_0\frac{N^2}{l}\pi b^2$$ **(2)** 穿过圆环磁通量： $$\Phi = BS\cos45° = \mu_0\frac{N}{l}I\pi a^2\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 感应电流： $$i = \frac{\sqrt{2}\varepsilon a^2}{2Nb^2 r}e^{-Rt/L}$$ **(3)** 最大磁力矩（$t = \dfrac{L}{R}\ln2$ 时）： $$T_{\max} = \frac{\pi a^4 \mu_0 \varepsilon^2}{8b^2 r R l}$$ --- # 附录C：2022年往年真题 ## C.1 选择题（部分代表性题目） | 题号 | 答案 | 考点 | |------|------|------| | 1 | **C** | 变加速运动 $dv/dt = -kv^2t$ → 分离变量积分 | | 2 | **B** | 变力做功 $W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r}$，路径从 $(0,0)$ 到 $(0,2R)$ | | 3 | **D** | 火箭变质量问题，$v = u\ln(m_0/m) - gt$ | | 4 | **A** | 角动量守恒：$J\omega_0 = (J + mR^2)\omega$ | | 5 | **C** | 相对论质量+长度收缩综合计算 | | 6 | **B** | $E$-$r$ 图判断带电体类型 | | 7 | **A** | 电场力做功→动能定理 | | 8 | **D** | 小圆线圈在 $r \ll R$ 时受力矩为零 | | 9 | **B** | 电子在磁场中偏转 $R = p/eB$ | | 10 | **A** | $M_{12} = M_{21}$，互感电动势比较 | ## C.2 填空题（部分代表性题目） | 题号 | 答案 | 考点 | |------|------|------| | 1 | $S(t) = \dfrac{ct^3}{3}$，$a_t = 2ct$，$a_n = \dfrac{c^2t^4}{R}$ | $v = ct^2$ → 积分得 $S$；$a_t = dv/dt$；$a_n = v^2/R$ | | 4 | $J_\text{边} = \dfrac{mL^2}{3}$，$J_\text{中心} = \dfrac{mL^2}{6}$ | 正方形薄板对边和对中心的转动惯量 | | 5 | $W = (\gamma - 1)m_e c^2$，$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-0.6^2}} = 1.25$ | 电子加速到 0.6c 需做功 | | 9 | $W = \dfrac{1}{2}LI^2 = 9.6$ J | 电感储能 | ## C.3 计算题（部分代表性题目） ### 第1题：组合圆柱体的转动 两个同轴圆柱体（$R, M$ 和 $r, m$），绳挂 $m_1, m_2$。 **解题要点**： 1. 列各物体动力学方程 2. 无滑动条件：$a_1 = R\beta$，$a_2 = r\beta$ 3. 转动定律：$TR - T'r = J\beta$（注意力矩方向） ### 第2题：非均匀带电圆柱面的场强 电荷面密度 $\sigma = \sigma_0\cos\phi$，求轴线上电场。 **解题要点**： 1. 取 $dS = R\,d\phi \cdot l$，$dq = \sigma dS = \sigma_0\cos\phi \cdot Rl\,d\phi$ 2. $dE = \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ 3. 分解积分：$\int_0^{2\pi} \cos\phi\,d\phi = 0$ → 某些分量抵消 ### 第3题：电子在电磁场中的运动 **解题要点**： 1. 电子在电场中加速 → 获得速度 2. 在磁场中做圆周运动 3. 当 $R \leq d$ 时电子无法到达正极板 4. 临界条件 $R = d$ → $B_{\min}$ --- # 🔥 重点公式速查卡 ## 力学 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 1 | $v = R\omega, a_\tau = R\beta, a_n = v^2/R$ | 圆周运动角量与线量 | | 2 | $\vec{F} = m\vec{a}$ | 牛二（惯性系） | | 3 | $\vec{p} = \sum m_i\vec{v}_i = M\vec{v}_C$ | 质点系动量 | | 4 | $A = E_k - E_{k0}$ | 动能定理 | | 5 | $E = E_k + E_p$ | 机械能 | | 6 | $\vec{F}_{\text{合外}} = M\vec{a}_C$ | 质心运动定理 | | 7 | $M = J\beta$ | 转动定律 | | 8 | $L = J\omega$ | 角动量 | | 9 | $J = J_C + md^2$ | 平行轴定理 | | 10 | 角动量守恒：$L = C$ | $M_\text{合外} = 0$ | ## 热学 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 11 | $pV = \nu RT$ | 理想气体状态方程 | | 12 | $Q = \Delta E + W$ | 热力学第一定律 | | 13 | $\eta = 1 - Q_2/Q_1$，$\eta_C = 1 - T_2/T_1$ | 热机效率 | | 14 | $\bar{\varepsilon}_{kt} = \frac{3}{2}kT$ | 温度微观意义 | | 15 | $p = \frac{2}{3}n\bar{\varepsilon}_{kt}$ | 压强微观公式 | ## 电磁学 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 16 | $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \sum q/\varepsilon_0$ | 高斯定理 | | 17 | $U_P = \int_P^\infty \vec{E} \cdot d\vec{l}$ | 电势定义 | | 18 | $\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = \sum Q_{0}$ | 有介质高斯定理 | | 19 | $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}$ | 毕-萨定律 | | 20 | $\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0\sum I$ | 安培环路定理 | | 21 | $d\vec{F} = Id\vec{l} \times \vec{B}$ / $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$ | 安培力/洛伦兹力 | | 22 | $\mathcal{E}_i = -d\Phi/dt$ | 法拉第定律 | | 23 | $\mathcal{E}_L = -L\,dI/dt$ | 自感 | | 24 | $W_m = \frac{1}{2}LI^2$ | 磁场能量 | ## 振动与波动 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 25 | $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ | 简谐振动 | | 26 | $E = \frac{1}{2}kA^2$ | 振动总能量 | | 27 | $y = A\cos[\omega(t\mp x/c) + \varphi]$ | 波动方程 | | 28 | $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 - 2\pi(r_2-r_1)/\lambda$ | 干涉相位差 | ## 光学 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 29 | $\delta = dx/D$，$\Delta x = D\lambda/d$ | 杨氏双缝 | | 30 | $a\sin\theta = \pm k\lambda$ | 单缝衍射暗纹 | | 31 | $(a+b)\sin\theta = \pm k\lambda$ | 光栅主极大 | | 32 | $I = I_0\cos^2\alpha$ | 马吕斯定律 | | 33 | $\tan i_B = n_2/n_1$ | 布儒斯特角 | ## 相对论 | 编号 | 公式 | 说明 | |------|------|------| | 34 | $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ | 洛伦兹因子 | | 35 | $\tau = \gamma\tau_0$，$L = L_0/\gamma$ | 时间膨胀/长度收缩 | | 36 | $E = \gamma m_0c^2$，$E_0 = m_0c^2$ | 质能关系 | --- # 📌 复习策略与注意事项 ## 考试信息 - **题型**：选择(30) + 填空(30) + 计算(40) - **时间**：闭卷 120 分钟 - **重点章节**：力学(1-3章) ≈ 电磁学(6-9章半) > 振动波动 > 热学 > 相对论 > 光学 ## 高频考点 | 优先级 | 内容 | 典型考法 | |--------|------|----------| | ⭐⭐⭐ | 刚体转动（角动量守恒） | 计算题必有 | | ⭐⭐⭐ | RL 回路 + 电磁感应 | 综合计算 | | ⭐⭐⭐ | 电场 + 电势计算 | 积分求场强 | | ⭐⭐⭐ | 磁场计算 + 安培力 | 选择/填空/计算 | | ⭐⭐ | 相对论（长度收缩、时间膨胀） | 选择/填空 | | ⭐⭐ | 振动方程 + 波动方程 | 选择/填空 | | ⭐⭐ | 运动学积分 | 选择/填空 | ## 易错点提醒 1. 平均速度大小 ≠ 平均速率 2. 位移大小 ≠ 路程 3. 三要素法定初始值时，除 $u_C, i_L$ 外的量需额外计算 4. 保守力做功与路径无关；摩擦力做功与路径有关 5. 角动量守恒 ≠ 动量守恒（需分别判断条件） 6. 质能关系 $E = mc^2$ 中是总能量，动能 $E_k = (\gamma-1)m_0c^2$ 7. 电磁感应负号表示方向（楞次定律），计算大小时可取绝对值 8. 干涉明暗条件中的 $\pm k\lambda$ 和 $\pm(k+1/2)\lambda$ --- > 💡 建议：考前三天重点刷模拟试卷 + 往年真题，理解每道题的解题逻辑而不是死记硬背。